能力的统计量构造

• 输入
  • 作答矩阵 $R$，对应我们代码 dataset 中的 self.log_mat
  • $Q$ 矩阵，直接读取即可
  • 能力矩阵 $\Theta$，但从数学上写应该是一个学生能力集合，不同学生的向量不同
• 符号定义
  • 学生 $s_i,i\in \{1,...,N\}$
  • 题目 $e_j,j\in \{1,...,M\}$
  • $Q_{M\times C}$ 矩阵, $q_{jc}$ 表示第 $j$ 道题目是否考察第 $c$ 个知识点
  • 题目 $e_j$ 考察的知识点集合 $e_j=\{c_1,c_2,...\}$，$c\in \{1,...,C\}$
• 集合定义
  • 提取考察知识点 $c$ 的所有题目：$E(c)=\{j:c\in e_j\}$
  • 寻找两类学生，一类是做对这些题目的学生，一类是做错这些题目的学生
  • 一类是做对这些题目的学生：$TS(c)=\{i:r_{ij}\ne -1,\forall j\in Eset(c)且{\Sigma }_j^{E(c)}{r}_{ij}\ne 0\}$
  • 一类是做错这些题目的学生：$FS(c)=\{i:r_{ij}\ne 1,\forall j\in Eset(c)且{\Sigma }_j^{E(c)}{r}_{ij}\ne 0\}$
• 根据集合构造统计量
  • 计算所有学生中的下确界和上确界
    • $\overline{\theta (c)}=max\{{\theta }_{ic},i\in \{1,...,N\}\}$
  • 确定两类学生的知识点 $c$ 的集合
    • 做对相关题目的那些学生对知识点 $c$ 的掌握能力集合 $T(c)=\{{\theta }_{ic},{\theta }_i\in \Theta ,i\in TS(c)\}$
    • 做错相关题目的那些学生对知识点 $c$ 的掌握能力集合 $F(c)=\{{\theta }_{ic},{\theta }_i\in \Theta ,i\in FS(c)\}$
  • 根据这些学生确定掌握该知识点 $c$ 的上确界和下确界
    • $\underline{{\theta }_{FS}(c)}=\sup F(c)$, $\overline{{\theta }_{FS}(c)}=\sup F(c)$
    • $\underline{{\theta }_{TS}(c)}=\inf T(c)$, $\overline{{\theta }_{TS}(c)}=\sup T(c)$
  • 因此得到能力的掌握下确界和能力的未掌握上确界
    • 掌握的能力下确界 $\underline{M(c)}=\max \{\underline{{\theta }_{TS}(c)},\overline{{\theta }_{FS}(c)}\}$
    • 未掌握的能力上确界 $\overline{M(c)}=\min \{\underline{{\theta }_{TS}(c)},\overline{{\theta }_{FS}(c)}\}$
  • 因此得到能力的掌握的均值和方差、能力未掌握的均值和方差
    • $T(c)$ 均值和方差 ${\mu }_{TS}(c),{\sigma }_{TS}(c)$
    • $F(c)$ 均值和方差 ${\mu }_{FS}(c),{\sigma }_{FS}(c)$